[벡터] 선형대수학을 위한 벡터

 

 

스칼라와 벡터

 

스칼라 - 크기만 갖는 양(방향이 없음)

          ex) 길이, 넓이, 질량, 숫자,  속력...

 

벡터- 크기와 방향

            ex) 속도, 힘, 3시 방향....

 

먼저 벡터와 스칼라에 대한 구분이 필요하기 때문에 간단하게 벡터와 스칼라에 대한 간단한 정의와 예시 나타내 보았다. 벡터는 크기와 방향을 동시에 나타낸다.

벡터가 되지 못하는 것을 설명해보자면, 어떤 물체가 시속 5마일의 속도로 이동한다고 하자.

하지만 이 물체가 어느 방향으로 시속 5마일을 움직이는지 알 수 없다. 속력이라고 불리는 이 수치는 그 자체로는 벡터가 아니다. 이것은 앞에서 설명한 스칼라이다. 위 값이 벡터가 되기 위해서는 방향을 가져야 한다. 

위 물체가 이제 시속 5마일의 속력으로 동쪽으로 움직이고 있다고 한다면, '시속 5마일로'와 '동쪽으로'라는 정보가 합쳐져서 벡터가 되었고 이 값을 더 이상 속력이라고 부르지 않고 속도라고 부른다. 즉, 속도는 벡터이다.  이 정보를 시속 5마일로 동쪽으로 움직인다고 말할 수 있다. 이 정보를 표현함에 있어서 좀 더 생각해보면 2차원에서 표현할 수 있다.

(우리는 3차원 그 이상의 4,5,6차원은 상상하기 어렵지만 수학적으로는 그 이상의 차원도 다룰 수 있다.)

위 값을 5의 크기로 가지는 화살표로 나타낸 것이다. 여기 표현된 크기는 크기의 단위마다 시간당 속력을 나타낸다. 그리고 방향은 오른쪽을 향한다. 즉,  동쪽이다.  그렇다면 원점에서 시작해 오른쪽으로 길이가 5인 화살표(1번 벡터)를 그릴 수 있다. 화살표의 길이는 속력을 나타낸다. 길이가 1,2,3,4,5 그리고 화살표가 가리키는 방향이 있다. 위에 보이는 것이 벡터를 표현했다고 볼 수 있다. 또한 벡터의 장점은 옮길 수 있다는 것인데, 2번 벡터와 1번 벡터는 정확히 같은 벡터이다. 

또한 벡터는 위 그림과 같이 v라고 표현한다. 표현함에 있어서는 다양한 방법이 있을 수 있겠다. 

 

일반적으로 2차원이라면 숫자 두개로 벡터를 표현할 수 있는데, 각 차원에 대해서 얼마만큼 움직였는지로 표현한다. 이 물체는 오직 수평축으로만 움직였고 수평축을 먼저 표기하여 <5,0>이라고 표현할 수 있다. 수평축 + 방향으로 5만큼 움직이며, 수직축 방향으로는 움직이지 않는다는 걸 나타낸다. 

다른 2차원 벡터가 있다고 하자. . 수평으로 3만큼 움직였고 수직으로 4만큼 움직였다. 

하지만 여기서 직각삼각형이 그려지는 모습을 볼 수 있다. 직각삼각형이 가능하다면 '피타고라스의 정리'를 이용해 볼 수 있다. 

 

피타고라스의 정리 -  직각 삼각형의 빗변의 제곱이 두 직각변의 제곱의 합과 같다는 정리이다.

c^2 = a^2 + b^2 

c = sqrt(a^2 + b^2)

즉, 피타고라스의 정리를 사용하면 벡터의 길이(크기)를 구할 수 있다. 그래서 위 v 벡터의 크기는 5이며,

4차원 5차원, 6,7,8차원 등등은 상상할 수 없지만 벡터의 크기를 구할 때는 전혀 문제가 되지 않는다.

 

 

 

 

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내용은 칸 아카데미의 살만 칸 선생님의 수업을 토대로 공부하며 정리했습니다.